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© Laurent Pelé 1995-2013

La théorie des motifs de Grothendieck

Existe t'elle ?

Vous arrivez probablement sur cette page car vous avez lu que la "Théorie des motifs est l'aboutissement" des travaux du mathématicien Alexandre Grothendieck devenu écolo radical en 1968.
De surcroît, sa fiche Wikipedia indique que dans son autobiographie il considère cela comme un de ses principaux travaux.
Cependant, vous ne voyez dans la liste de ses travaux aucun article qui s'y rattache, l'article de Wikipedia sur les motifs précise "C'est Alexander Grothendieck qui parle pour la première fois de motifs dans une lettre à Jean-Pierre Serre, suivant une analogie musicale, espérant révéler « le “motif commun” (la “raison commune”) derrière cette multitude d'invariants cohomologiques ». Cependant, il ne publia jamais aucun écrit explicite à leur sujet (à l'exception des lettres envoyées à Serre)"
Voila qui est donc bien mystérieux, quelle est donc cette théorie si importante alors qu'il n'a jamais rien publié dessus ?
D'abord, il y a bien eu des articles écrits sur le sujet mais par ses élèves Michel Demazure et Steven Kleiman à partir des leçons de Grothendieck.
Ensuite Grothendieck en a parlé dans son autobiographie :

Dans ma vision des motifs, ceux-ci constituent une sorte de « cordon » très caché et très délicat, reliant les propriétés algébro-géométriques d’une variété algébrique, à des propriétés de nature « arithmétique » incarnées par son motif. Ce dernier peut être considéré comme un objet de nature « géométrique » dans son esprit même, mais où les propriétés « arithmétiques » subordonnées à la géométrie se trouvent, pour ainsi dire, « mises à nu ». Ainsi, le motif m’apparaît comme le plus profond « invariant de la forme » qu’on a su associer jusqu’à présent à une variété algébrique, mis à part son « groupe fondamental motivique ». L’un et l’autre invariant représentent pour moi comme les « ombres » d’un « type d’homotopie motivique » qui resterait à décrire. C’est ce dernier objet qui me semble devoir être l’incarnation la plus parfaite de l’élusive intuition de « forme arithmétique » (ou « motivique ») d’une variété algébrique quelconque.
C’est là [...] la quintessence d’une idée d’une simplicité enfantine encore, délicate et audacieuse à la fois. J’ai développé cette idée, en marge des tâches de fondements que je considérais plus urgentes, sous le nom de « théorie des motifs » ou de « philosophie » (ou « yoga ») des motifs", tout au long des années 1963-69. C’est une théorie d’une richesse structurale fascinante, dont une grande partie est restée encore conjecturale.
Récoltes et Semailles, § 2.16. Les motifs — ou le cœur dans le cœur

Actuellement cette théorie reste très conjecturale.
Toutefois si Grothendieck n'a rien publié de son vivant sur le sujet, Science et Vie d'Avril de cette année (n°1207) nous apprend dans l'article intitulé "Grothendieck, les archives fantasmatiques" qu'il a laissé un manuscrit de 1041 pages sur le thème "Théorie des motifs", retrouvé après sa mort ; les seules choses que l'on semble savoir de ce manuscrit est qu'il est caché quelque part à Paris, qu'il est difficile à déchiffrer compte tenu de l'écriture en patte de mouche et de la difficulté du sujet. Mais les rares personnes à avoir pu le consulter ne sont guère disert sur son contenu.
que les héritiers et la BNF ne s'entendent guère sur la valeur du manuscrit.
et que Grothendieck estimait lui-même qu'il faudrait 50 ans pour analyser toute la valeur de ses travaux.

Enigme à tiroir

Si vous arrivez sur cette page car un rigolo vous a mis au défi de trouver la réponse à une énigme, voici quelques pistes, plus ou moins sérieuses :
Avez vous fait quelques essais avec des outils tels que maple (windows) ou bc sous Linux ?
Si oui, les premiers essais n'ont probablement rien donné et des tests en force brute risquent de prendre un temps indéfini, il faut être astucieux.
On peut exprimer une durée en années, mois, semaines, jours, secondes, millisecondes, microsecondes, nanosecondes...
Cette personne doit être plutôt tordue, serait elle capable de tenir compte des secondes intercalaires ?


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