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© Laurent Pelé 1995-2013

Arbitrage en finance


Le taux au jour le jour entre banque était de 5.375 % le 27 janvier 1995 (entre banques), de 7.625 % le 2 mai 1995 et de 5.75 % le 4 septembre.

Cet exemple met en évidence que les cours fluctuent énormément, ce n'est pas le propre des taux d'intérêt, c'est le cas aussi du cours des obligations, des actions, des futures. C'est la conséquence de la loi de l'offre et de la demande qui est la règle sur les marchés.

Une autre règle découlant de la loi de l'offre et de la demande est la règle d'absence d'opportunité d'arbitrage et d'efficience des marchés financiers.

Autrement dit, il n'existe pas de possibilité de réaliser des gains sans risque sur les marchés financiers. Bien sûr, il existe quelquefois de petites opportunités mais cela dure rarement longtemps et c'est de moins en moins fréquent.Le banquier n'aime pas le risque, son rôle est de gérer le risque : risque de contrepartie, risque de taux, risque de change, risque de liquidités...

Intéressons nous ici aux risques purement financiers : les risques de taux et de change : il est essentiel de pouvoir les annuler. En fait, généralement les banques ne prennent pas de risques, elles cherchent à se couvrir contre les risques.

  • A) Achat et vente d'obligations d'état

Par exemple, supposons qu'une banque achète le lundi 30 janvier 1995 des obligations d'état, placement comportant peu de risque de risque de contrepartie, ayant moins de risque de marché que les actions mais néanmoins risqué :

Cette banque achète 50 000 obligations "OAT 8.25% 27/02/2004" de nominal de 2000 Francs.

Ces obligations sont cotées en "pied de coupon", elles cotent 101.3 le lundi 30 janvier 1995, le coupon couru est de 7.617%.

Cette banque souhaite céder les obligations le 9 mars 1995 car elle sait qu'elle aura besoin de l'argent à ce moment là.

Elle débourse donc 50 000*2000*(101.3+7.617)/100=108 917 000 Francs.

le 27 février 1995, un coupon de 8.25% tombe, la banque reçoit donc 8 250 000 francs (elle a acheté pour un nominal de 100 millions de francs d'obligations).

Le 9 mars 1995, cette obligation cote 100.32 % (plus un coupon couru de 0.226%)

Elle revend donc les obligations le 9 mars et perçoit 50 000x2000x(100.32+0.226)/100=100 546 000 Francs.

Le bilan de l'opération est donc : 100 546 000-108 917 000+8 250 000=-121 000 Francs

Elle a donc perdu 121 000 Francs dans l'histoire alors qu'elle a immobilisé plus de 100 millions de francs pendant plus d'un mois, ce n'est pas terrible comme opération.

En fait, les banques font très rarement ce genre d'opérations, elles préfèrent se couvrir et fixer leurs gains.

Cet exemple permet de voir qu'à chaque fois qu'une banque prend une position, elle a un risque de marché, elle doit se couvrir.

Dans le cas que l'on vient de voir, elle peut se couvrir avec du Futures Notionnel Mars 95. Mais alors, dans ce cas, ses gains seront proches du taux monétaire au jour le jour (il y a un arbitrage), c'est assez difficile à montrer, mais c'est confirmé par la pratique et par l'étude d'un portefeuille couvert sur une longue période.

  • B) Prêt sur le marché monétaire

Ainsi, cette même banque préférera prêter 100 millions pendant 1 mois à une autre banque. Le taux interbancaire à 1 mois était de 5.5625% le 30 janvier.

Si la banque prête à ce taux là : l'opération aura les flux suivant :

Mardi 31 janvier 1995 : -100 000 000 Francs (il y a 1 jour de valeur généralement pour ces opérations de prêt-emprunt domestique)

Mardi 28 février 1995 : +100 000 000x(1+5.5625%x28/360)=100 432 638.89 Francs

(Note : si on rajoute 1 mois au 31 janvier qui est le dernier jour du mois de janvier on tombe sur le dernier jour de février, il y a 28 jours du 31/01 au 28/02, les intérêts sont calculés ici, base "360 jours par an").

La banque a donc gagné 432 638.89 francs dans l'opération, elle sait d'avance combien elle va gagner, elle préfère cela : il y a moins de risque.

  • C) Prêt synthétisé par des opérations en devise étrangères

Analysons le cas d'une opération de prêt sur le marché monétaire domestique synthétisée par une opération de change spot, de change à terme inverse et de prêt sur une devise étrangère

La banque peut aussi essayer de changer 100 millions de francs en Deutsche Mark, placer les Deutsche-mark au taux monétaire à 1 mois et les changer au bout d'un mois en francs. Notons que la banque peut éviter le risque de change de l'opération en fixant dès aujourd'hui le taux de change pratiqué à 1 mois.

Par exemple, les Echos du 30 janvier nous donnent :

Taux monétaire franc à 1 mois : 5.5625

Taux monétaire Deutsche-mark à 1 mois : 5%

Taux de change spot DEM/FRF 3.4718

change à terme 1 mois DEM/FRF +0.0012 à +0.0019 soit 3.4730 à 3.4737

Donc la banque fait contracte les opérations suivantes le 30 janvier 95 :

change 100 millions de francs contre des Deutsche-mark à 3.4718, elle paiera donc 100 millions de francs le 1er février (2 jours de valeur sur le change spot) et recevra 28 803502.51 DEM le 1er février

placement de 28 803502.51 DEM à 5 % pendant un mois, elle recevra donc 28 803502.51 x(1+5%*28/360)=28 915 516.13 DEM qu'elle change au taux de 3.4730 =>28 915 516.13 DEM*3.4730 (elle a le taux de change le plus défavorable) soit 100 423 587.51 Francs le 1er mars 1995.

Cette opération ne présente pas de risque de marché : le gain est fixé mais, cette opération ne gagne pas plus que le placement à 1 mois sur le Franc (423 587 francs contre 432 638francs).

Ce n'est pas vraiment la peine de monter une opération si compliquée, on risque d'y perdre plus en courtages.

En fait, ce montage gagne rarement plus que le prêt sur le marché domestique car les marchés sont efficients et cet arbitrage est facile à faire. Les taux de change spot, change à terme, Taux des prêts/emprunts dans les différentes devises sontdonc corrélés.

A tout moment, les cours sont ajustés dans le monde entier pour qu'il n'y ait pas d'arbitrage possible.

Il est donc difficile d'obtenir des rendements supérieurs au taux monétaire. D'ailleurs, le taux monétaire est appelé taux sans risque.

Notez cependant que le fait que le cours du change à terme DEM/FRF 1 mois vaut 3.4730 le 30 janvier 95 n'implique nullement que le cours spot du change DEM/FRF vaut cette valeur là le 27 février 95, ce cours peut avoir une valeur tout à fait différente.

D) Relation entre les taux monétaires et les cours des futures Pibor.

Les taux monétaires au 30 janvier sont les suivants :

1 mois 28/02/95 5.5625 (29 jours)

2 mois 31/03/95 5.6875 (60 jours)

3 mois 30/04/95 5.8125 (90 jours)

4 mois 31/05/95 5.9375 (121 jours)

5 mois 30/06/95 6.0625 (151 jours)

6 mois 31/07/95 6.1875

7 mois 31/08/95 6.2813

8 mois 30/09/95 6.375

9 mois 31/10/95 6.4375

10 mois 30/11/95 6.5547

11 mois 31/12/95 6.6523

12 mois 31/01/96 6.7422

Quant aux futures PIB 3 mois :

Echéance Cours en 100-Taux

13 mars 95 93.74 soit 6.26

19 juin 95 93.29 soit 6.71

Des taux monétaires à 1 mois et 2 mois, on interpole le taux au 14 mars 95 (13 mars+ 1 jour de valeur, il y a 42 jours du 30 janvier au 14 mars 95) on a (5.5625*(60-42)+5.6875*(42-29))/(60-29)=5.6149

De même en interpolant des taux monétaires à 4 mois et 5 mois,on obtient le taux au 14 juin 95 (14 mars + 3 mois, il y a 134 jours du 30 janvier au 14 juin 95) : on a

(5.9375*(151-134)+6.0625*(134-121))/(151-121)=5.9916

Si je fait une opération de prêt au taux de 5.6149 % jusqu'au 14 mars suivi d'un prêt à 3 mois au taux du marché du 14 mars au 14 juin,alors en définitive, c'est comme si j'avais fait un seul prêt jusqu'au 14 juin 95.

Ces deux opérations doivent me rapporter autant (principe d'arbitrage), or le prêt jusqu'au 14 juin 95 a un taux de 5.9916%

On peut en déduire le taux à 3 mois au 14 mars 95 par la formule des FRA :

(1+ 5.6149 (taux au 14 mars)*42/36000)*(1+Taux 3 mois *92/36000)=(1+5.9916 (taux au 14 juin 95)*134/36000)

D'où taux à 3 mois au 14 mars 95= 6.1235%, ce qui est assez proche du taux du futures mars 95 (n'oublions pas que le cours du futures est celui de la clôture du 30 janvier 95 à 17 heures tandis que les taux monétaires ont été pris à 11 heures, les taux varient beaucoup).

En pratique, il faut faire des calculs un peu plus précis mais le principe est le même.

En procédant de même pour l'échéance 19 juin 95, on trouverait un taux de 6.61% (à comparer au taux implicite du futures pibor 3 mois de 6.71%)

Attention, ici encore, rien n'implique que les taux monétaires à 3 mois effectivement constatés le 13 mars 95 ou le 19 juin 95 soient effectivement ceux calculés.

En conclusion, le marché des taux et des changes sont des marchés intimement corrélés, où on peut déduire les cours d'instruments peu traités ou dérivés (FRAs, Cap Floors, Options sur swaps) des cours d'instruments de référence très liquides (obligations d'états, BTAN, futures sur taux, futures sur obligations) ou de liquidité intermédiaire (Swaps de taux).

Ces marchés mathématiques requiert des logiciels de Front Office puissants.

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